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@Mallo Hola! dividí x por x. O simplifiqué las x, es lo mismo.
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@Daniela ln y colocas el numero que deseas calcular . ej: ln 4 =1.386... recorda que los logaritmos son siempre positivos y mayores que 0 (no podes calcular un logaritmo negativo)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
10.
Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos locales de $f$.
d) $f(x)=\frac{\ln (x)}{x}$
d) $f(x)=\frac{\ln (x)}{x}$
Respuesta
Vamos a resolver el ejercicio paso a paso, tal como vimos en el video de estudio de funciones usando la derivada.
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1. Primero hallamos el dominio de la función.
La función \( \ln(x) \) está definida para \( x > 0 \) y la función racional \( \frac{1}{x} \) está definida para \( x \neq 0 \). Por lo tanto, el dominio de \( f(x) \) es:
$ \text{Dom}(f) = (0, +\infty) $
Si no te acordás de esto, tengo el video de dominio de funciones donde vemos restricciones combinadas en la unidad de funciones.
2. Calculamos la derivada de la función.
$ f(x) = \frac{\ln(x)}{x} $
$ f'(x) = \left( \frac{\ln(x)}{x} \right)' = \frac{( \ln(x) )' \cdot x - \ln(x) \cdot (x)'}{x^2} $
$ f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln(x) \cdot 1}{x^2} $
$ f'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^2} $
3. Buscamos los puntos críticos:
3.1. Buscamos los valores del dominio de \( f \) donde la derivada no está definida, comparando los dominios de ambas:
El \( \text{Dom}(f) = \text{Dom}(f') = (0, +\infty) \). No obtuvimos puntos críticos de acá.
3.2. Buscamos los valores donde la derivada se hace cero:
$ f'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^2} = 0 $
$ 1 - \ln(x) = x^2 . 0 $
$ 1 - \ln(x) = 0 $
$ \ln(x) = 1 $
$ x = e $
4. Usamos Bolzano (con el dominio y los PCs) para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Evaluamos la derivada \( f'(x) \) en cada intervalo:
-> Para \( x \) en Intervalo \( (0, e) \): \( f'\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1 - \ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1 - (-\ln(2))}{\frac{1}{4}} = \frac{1 + \ln(2)}{\frac{1}{4}} > 0 \). Es decir que \( f \) crece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (e, +\infty) \): \( f'(e^2) = \frac{1 - \ln(e^2)}{(e^2)^2} = \frac{1 - 2}{e^4} = \frac{-1}{e^4} < 0 \). Es decir que \( f \) decrece.
5. Evaluamos los máximos y mínimos.
Los puntos \( x = e \) es un punto crítico. Analizando el cambio de signo de la derivada:
-> \( x = e \): Es un máximo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de positivo a negativo.
Podemos hallar las coordenadas del extremo sustituyendo \( x = e \) en \( f(x) \):
$ f(e) = \frac{\ln(e)}{e} = \frac{1}{e} $
Respuesta:
Dominio: \( (0, +\infty) \)
Intervalos de crecimiento: \( (0, e) \)
Intervalos de decrecimiento: \( (e, +\infty) \)
Máximo relativo en \( x = e \), con coordenadas \( (e, \frac{1}{e}) \)
ExaComunidad
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Mallo
1 de noviembre 16:48
hola profe, buenas tardes disculpa pero no entiendo que hiciste en el ultimo paso de la derivada donde esta el 1 sobre x por x y despues las x desaparecen y queda solo el 1
Julieta
PROFE
8 de noviembre 9:41
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Fernando
21 de junio 2:25
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Julieta
PROFE
25 de junio 15:23
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