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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5 - Derivadas

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10. Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos locales de ff.
d) f(x)=ln⁡(x)xf(x)=\frac{\ln (x)}{x}

Respuesta

Vamos a resolver el ejercicio paso a paso, tal como vimos en el video de estudio de funciones usando la derivada.

1. Primero hallamos el dominio de la función.
La función ln⁡(x) \ln(x) está definida para x>0 x > 0 y la función racional 1x \frac{1}{x} está definida para x≠0 x \neq 0 . Por lo tanto, el dominio de f(x) f(x) es:
Dom(f)=(0,+∞) \text{Dom}(f) = (0, +\infty)

Si no te acordás de esto, tengo el video de dominio de funciones donde vemos restricciones combinadas en la unidad de funciones.

2. Calculamos la derivada de la función.
f(x)=ln⁡(x)x f(x) = \frac{\ln(x)}{x}
  
f′(x)=(ln⁡(x)x)′=(ln⁡(x))′⋅x−ln⁡(x)⋅(x)′x2 f'(x) = \left( \frac{\ln(x)}{x} \right)' = \frac{( \ln(x) )' \cdot x - \ln(x) \cdot (x)'}{x^2}
f′(x)=1x⋅x−ln⁡(x)⋅1x2 f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln(x) \cdot 1}{x^2}
f′(x)=1−ln⁡(x)x2 f'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}

3. Buscamos los puntos críticos:
  3.1. Buscamos los valores del dominio de f f donde la derivada no está definida, comparando los dominios de ambas:
El Dom(f)=Dom(f′)=(0,+∞) \text{Dom}(f) = \text{Dom}(f') = (0, +\infty) . No obtuvimos puntos críticos de acá.
  3.2. Buscamos los valores donde la derivada se hace cero:
f′(x)=1−ln⁡(x)x2=0 f'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^2} = 0

1−ln⁡(x)= x2. 0 1 - \ln(x) = x^2 . 0

1−ln⁡(x)=0 1 - \ln(x) = 0
ln⁡(x)=1 \ln(x) = 1
x=e x = e


4. Usamos Bolzano (con el dominio y los PCs) para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Evaluamos la derivada f′(x) f'(x) en cada intervalo:
-> Para x x en Intervalo (0,e) (0, e) : f′(12)=1−ln⁡(12)(12)2=1−(−ln⁡(2))14=1+ln⁡(2)14>0 f'\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1 - \ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1 - (-\ln(2))}{\frac{1}{4}} = \frac{1 + \ln(2)}{\frac{1}{4}} > 0 . Es decir que f f crece.
-> Para x x en Intervalo (e,+∞) (e, +\infty) : f′(e2)=1−ln⁡(e2)(e2)2=1−2e4=−1e4<0 f'(e^2) = \frac{1 - \ln(e^2)}{(e^2)^2} = \frac{1 - 2}{e^4} = \frac{-1}{e^4} < 0 . Es decir que f f decrece.


5. Evaluamos los máximos y mínimos.
Los puntos x=e x = e es un punto crítico. Analizando el cambio de signo de la derivada:
-> x=e x = e : Es un máximo relativo ya que f′(x) f'(x) pasa de positivo a negativo.
Podemos hallar las coordenadas del extremo sustituyendo x=e x = e en f(x) f(x) : f(e)=ln⁡(e)e=1e f(e) = \frac{\ln(e)}{e} = \frac{1}{e}



Respuesta: Dominio: (0,+∞) (0, +\infty) Intervalos de crecimiento: (0,e) (0, e) Intervalos de decrecimiento: (e,+∞) (e, +\infty) Máximo relativo en x=e x = e , con coordenadas (e,1e) (e, \frac{1}{e})
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Mallo
1 de noviembre 16:48
hola profe, buenas tardes disculpa pero no entiendo que hiciste en el ultimo paso de la derivada donde esta el 1 sobre x por x y despues las x desaparecen y queda solo el 1
0 Responder
Julieta
PROFE
8 de noviembre 9:41
@Mallo Hola! dividí x por x. O simplifiqué las x, es lo mismo.
0 Responder
Daniela
17 de junio 16:45
juli hay algun tutorial para usar la calcu con ln ??? gracias
0 Responder
Fernando
21 de junio 2:25
@Daniela ln y colocas el numero que deseas calcular . ej:  ln 4 =1.386... recorda que los logaritmos son siempre positivos y mayores que 0 (no podes calcular un logaritmo negativo)
0 Responder
Julieta
PROFE
25 de junio 15:23
❤️
0 Responder